根据《中共中央组织部关于党的基层组织选举工作的问答》：
党的基层组织的书记、副书记或常委，因各种原因出现空缺时，可以由上级党组织指派，也可以补选。进行补选的，应提出增补人选报上级党组织审查，上级党组织审查同意后，增补人选原来已经是委员会委员的，可召开委员会全体会议进行选举；增补人选不是委员会委员的，应先召开党员大会或党员代表大会增选为委员，再召开委员会全体会议进行选举。选举结果报上级党组织批准。

建议由上级党委按有关规定任命支部书记。

党支部书记、副书记一般由党支部委员会会议选举产生。
党支部委员会按照选举程序执行，先向上级党组织说明情况，申请召开选举会议。
《中国共产党发展党员工作细则》：
第二十一条　村、社区党支部委员会每届任期5年，其他基层单位党支部委员会一般每届任期3年。
党支部委员会由党支部党员大会选举产生，党支部书记、副书记一般由党支部委员会会议选举产生，不设委员会的党支部书记、副书记由党支部党员大会选举产生。选出的党支部委员，报上级党组织备案；党支部书记、副书记，报上级党组织批准。党支部书记、副书记、委员出现空缺，应当及时进行补选。确有必要时，上级党组织可以指派党支部书记或者副书记。
第二十三条　党支部书记应当具备良好政治素质，热爱党的工作，具有一定的政策理论水平、组织协调能力和群众工作本领，敢于担当、乐于奉献，带头发挥先锋模范作用，在党员、群众中有较高威信，一般应当具有1年以上党龄。
第二十四条　上级党组织应当结合不同领域实际，突出政治标准，按照组织程序，采取多种方式，选拔符合条件的优秀党员担任党支部书记。
村、社区应当注重从带富能力强的村民、复员退伍军人、经商务工人员、乡村教师、乡村医生、社会工作者、大学生村官、退休干部职工等群体中选拔党支部书记。对没有合适人选的，上级党组织可以跨地域或者从机关和企事业单位选派党支部书记。根据工作需要，上级党组织可以选派优秀干部到村、社区担任党支部第一书记，指导、帮助党支部书记开展工作，主要承担建强党支部、推动中心工作、为民办事服务、提升治理水平等职责任务。符合条件的村、社区党支部书记可以通过法定程序担任村民委员会、居民委员会主任。
机关、国有企业、事业单位，党支部书记一般由本部门本单位主要负责人担任，也可以由本部门本单位其他负责人担任。根据工作需要，上级党组织可以选派党员干部担任专职党支部书记。
非公有制经济组织、社会组织，一般从管理层中选任党支部书记，应当注重从业务骨干中选拔党支部书记。没有合适人选的，可以由上级党组织选派党支部书记。
加强党支部书记后备队伍建设，注意发现优秀党员作为党支部书记后备人才培养，建立村、社区等领域党支部书记后备人才库。

个人认为，只能向上级报告，说明本支部的书记因什么原因不在岗了，然后谁谁谁担任了本单位的行政领导，最后由上级党委讨论决定由谁担任书记。

严格来说，支部没有推荐本支部支部书记人选的权利。

不建议直接推荐支部书记人选，根据规定，上级党委可以直接任命支部书记、副书记，若推荐人选应当走选举程序。

建议咨询上级党委。根据《中国共产党支部工作条例（试行）》第二十一条  党支部书记、副书记、委员出现空缺，应当及时进行补选。确有必要时，上级党组织可以指派党支部书记或者副书记。